정규분포의 유도

정규분포의 유도

정규 분포 (Normal Distribution)

\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)

가우스 적분 (Gaussian Integrals)

1. 다음 함수를 적분해보자. \( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = ? \)

2. 바로 적분이 불가능하므로 양 변을 제곱하는 식으로 문제를 변형해보자. \( \left[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \right]^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \) \( \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} e^{-y^2} dx dy = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} dx dy \)

3. 이 식을 극좌표¹로 변환해보자. \( \int_{R^2}^{} e^{-(x^2+y^2)} dx dy = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\infty} re^{-r^2} dr d\theta \)
   • r 과 관련된 부분부터 적분을 하면, \( \int_{r=0}^{\infty} re^{-r^2} dr = -\frac{1}{2} \int_{r=0}^{\infty} -2re^{-r^2} dr = -\frac{1}{2}[e^{-r^2}]_{r=0}^{\infty} = -\frac{1}{2}[e^{-\infty^2} - e^{-0^2}] = -\frac{1}{2}[0-1] = \frac{1}{2} \)
   • 이제 상기 결과를 토대로 $\theta$ 부분을 적분해 보자. \( \int_{\theta=0}^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta = \left[\frac{1}{2}\theta \right]_{\theta=0}^{2\pi} = [\pi-0] = \pi \)
4. 최종 결과는 다음과 같다. \( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \)

1: $ x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ x^2 + y^2 = r^2 $

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