테일러 급수
13 Oct 2018 | Math 테일러급수 taylor series테일러 급수 (Taylor Series)
다항함수 \( f(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \ldots + c_n(x-a)^n + \ldots \)
\( \begin{cases} f^{(0)}(x) = 0!c_0 + \ldots \\ f^{(1)}(x) = 1!c_1 + 2 \times 1 c_2(x-a) + 3c_3(x-a)^2 + \ldots + nc_n(x-a)^{n-1} + \ldots \\ f^{(2)}(x) = 2!c_2 + 3 \times 2 c_3(x-a) + \ldots \\ f^{(3)}(x) = 3!c_3 + \ldots \\ \vdots \end{cases} \)
\( \therefore c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \)
즉, \( \therefore f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \)
참고로, \( \begin{align} f(x) - f(a) & = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \\ & = \int_{a}^{x} f’(t) dt \\ & = \int_{a}^{x} (-1)(-f’(t)) dt \end{align} \)
부분적분을 이용하여 계산해보자. ($-1$을 적분할때는 x를 상수취급하여 더해준다.)
| sign | $d/dx$ | $\int dx$ |
|---|---|---|
| + | $-f’(t)$ | $-1$ |
| - | $-f^{(2)}(t)$ | $x-t$ |
| + | $-f^{(3)}(t)$ | $-\frac{1}{2!}(x-t)^2$ |
| - | $-f^{(4)}(t)$ | $\frac{1}{3!}(x-t)^3$ |
| + | $\vdots$ | $-\frac{1}{4!}(x-t)^4$ |
| - | $\vdots$ | $\vdots$ |
\( \left[ -(x-t)f’(t) - \frac{(x-t)^2}{2!}f^{(2)}(t) - \frac{(x-t)^3}{3!}f^{(3)}(t) - \ldots \right]_{a}^{x} \) \( = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \)
이와 같이 부분적분의 개념으로 증명하는 것도 가능하다.
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