코시-슈바르츠 부등식(cauchy-schwartz inequality)

코시-슈바르츠 부등식 (cauchy-schwartz inequality) 증명

두 벡터의 내적의 절대값은 두 벡터의 길이의 곱보다 작거나 같다.

\(\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n \text{(, non-zero vector)}\)

벡터 \(x\)가 벡터 \(y\)의 스칼라배인 경우에만(즉, 동일선상에 있는 경우에만) 등호가 성립한다.

\(| \vec{x} \cdot \vec{y} | = \| \vec{x} \| \| \vec{y}\| \Longleftrightarrow \vec{x} = c \vec{y}\)

벡터의 길이와 그 제곱은 다음과 같다.

\(\| \vec{v} \| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} \geq 0 \\ \| \vec{v} \|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\)

변수 스칼라 \(t\)에 대한 함수를 정의해 보자.

\(\begin{align} p(t) & = \| t \vec{y} - \vec{x} \|^2 ( \geq 0 ) \\ & = (t \vec{y} - \vec{x}) \cdot (t \vec{y} - \vec{x} ) \\ & = t \vec{y} \cdot t \vec{y} - \vec{x} \cdot t \vec{y} - t \vec{y} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{x} \\ & = ( \vec{y} \cdot \vec{y} ) t^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})t + \vec{x} \cdot \vec{x} \geq 0 \\ \end{align}\)

계산을 간단히 하기위해 치환하면,

\(p(t) = at^2 -bt + c \geq 0\)

\(t\) 에 \(\frac{b}{2a}\)를 대입하면,

\(\begin{align} p( \frac{b}{2a} ) & = a \frac{b^2}{4a^2} - b \frac{b}{2a} + c \geq 0 \\ & \Leftrightarrow \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + c \geq 0 \\ & \Leftrightarrow - \frac{b^2}{4a} + c \geq 0 \\ & \Leftrightarrow 4ac \geq b^2 \\ & \Leftrightarrow 4( \| \vec{y} \|^2 \| \vec{x} \|^2 ) \geq (2( \vec{x} \cdot \vec{y} ))^2 \\ & \Leftrightarrow \| \vec{x} \| \| \vec{y} \| \geq | \vec{x} \cdot \vec{y} | \Longleftarrow \text{코시-슈바르츠 부등식} \\ \end{align}\)