부트스트랩 표준오차 분해 — 모수 불확실성과 프로세스 불확실성

1. 두 종류의 불확실성

체인 래더(chain-ladder) 모형으로 미래 손해를 예측할 때, 미래 셀 Y_{i,j} 의 표준오차(SE) 는 본질적으로 두 개 의 서로 다른 출처가 섞인 양이다.

1. 모수 불확실성(parameter uncertainty) — 진짜 ATA 인자(age-to-age factor) f_k 가 무엇인지 모른다. 유한한 삼각형 데이터로 f̂_k 를 추정한 것일 뿐이고, 조금 다른 과거 데이터 표본 이었다면 f̂_k 도 조금 달랐을 것이다. 이 추정의 불확실성이 projection 으로 전파된다.
2. 프로세스 불확실성(process uncertainty) — 가령 진짜 f_k 를 알았다 하더라도, 다음 셀의 실현값 은 결정적(deterministic) 이 아니다. 잡음이 있는 stochastic process (ODP / Gamma / Normal 등) 에서의 단 한 번의 실현(realization) 일 뿐이고, 그 잡음의 분산은 축소 불가능(irreducible) 한 양이다.

Mack(1993) 의 closed-form 평균제곱예측오차(MSEP) 는 이 덧셈 분해 를 정확한 식으로 표현한다.

$$\mathrm{MSEP}(Y_{i,j}) \;=\; \underbrace{\mathrm{Var}_{\theta}(\hat\theta)}_{\substack{\text{모수} \\ \text{(추정) 오차}}} \;+\; \underbrace{\mathbb{E}_\theta[\mathrm{Var}(Y_{i,j}\mid\theta)]}_{\substack{\text{프로세스} \\ \text{(불가축) 오차}}}.$$

부트스트랩은 동일 분해 의 경험적(empirical) 대응 을 제공한다. closed-form 분산 식이 필요하지 않고, 단계 적응형(stage-adaptive, SA) 모형처럼 Mack 의 분석적 SE 가 작위적인 경우에도 자연스럽게 적용된다.

2. 전체 분산의 법칙(Law of total variance) — 수학적 근거

확률변수 Y 가 모수 θ 에 의해 결정된다고 하자. 전체 분산의 법칙은

$$\mathrm{Var}(Y) \;=\; \underbrace{\mathrm{Var}\bigl(\mathbb{E}[Y\mid\theta]\bigr)}_{\text{모수 분산}} \;+\; \underbrace{\mathbb{E}\bigl[\mathrm{Var}(Y\mid\theta)\bigr]}_{\text{프로세스 분산}}.$$

두 항은 직교(orthogonal) 다. 전체 분산이 두 부분의 합 이며 상호작용이 없다.

부트스트랩의 언어로 표현하면, b = 1, 2, …, B 개의 replicate 마다:

기호	의미	변동 출처
μ_b = E[Y | θ_b]	draw b 의 조건부 평균	모수만
Y_b = μ_b + ε_b	draw b 의 한 번의 실현값	모수 + 프로세스

피타고라스 정의(Pythagorean identity)

$$\mathrm{Var}(Y_b) \;=\; \mathrm{Var}(\mu_b) \;+\; \mathrm{Var}(\varepsilon_b)$$

가 경험적 추정량(empirical estimator)으로 변환되면

$$\mathrm{se}_{\text{total}}^2 \;=\; \mathrm{se}_{\text{param}}^2 \;+\; \mathrm{se}_{\text{proc}}^2,$$

즉 피타고라스 SE 분해 형식이 된다. 단지 표본 표준편차 두 번 + 빼기:

$$\mathrm{se}_{\text{param}} \;=\; \mathrm{sd}(\mu_b\,;\,b = 1,\dots,B),\qquad \mathrm{se}_{\text{total}} \;=\; \mathrm{sd}(Y_b\,;\,b = 1,\dots,B),\qquad \mathrm{se}_{\text{proc}} \;=\; \sqrt{\,\mathrm{se}_{\text{total}}^2 - \mathrm{se}_{\text{param}}^2}.$$

3. bootstrap() 이 두 값을 모두 만들어내는 방식

bootstrap() 은 B 개의 대안(alternative) 삼각형을 시뮬레이션한다. 각 replicate b 는 두 단계를 수행한다.

1. Stage 1 — 모수 perturbation. 잔차(residual)를 재추출하거나 (또는 parametric 의 경우 f*_k ~ N(f̂_k, sqrt(Var(f̂_k))) 를 draw) 다른 ATA 인자 추정 θ_b 를 만들어 낸다. 이로부터 forward projection 된 평균 μ_b 가 산출된다.
2. Stage 2 — 프로세스 잡음. μ_b 위에 선택된 process 분포 (gamma / od_pois / normal)에서 한 번의 noise draw ε_b 를 더해 Y_b 를 만든다.

두 값 모두 cell × replicate 단위로 반환된다.

library(lossratio)

data(experience)
tri <- as_triangle(
  experience[experience$coverage == "surgery", ],
  groups   = "coverage",
  cohort   = "uy_m",
  calendar = "cy_m",
  loss     = "incr_loss",
  premium = "incr_premium"
)

set.seed(42)
bt <- bootstrap(tri,
                residual    = "cell",
                method      = "sa",
                pooling     = "tail_pooled", tail = "auto",
                process     = "gamma",
                B           = 499,
                keep_pseudo = TRUE)   # long-format $pseudo_triangles opt-in
head(bt$pseudo_triangles)
#>    coverage     cohort   dev   rep loss_mean loss_sampled
#>      <char>     <Date> <int> <int>     <num>        <num>
#> 1:  surgery 2023-01-01     1     1  23614901     23614901
#> 2:  surgery 2023-02-01     1     1  68069021     68069021
#> 3:  surgery 2023-03-01     1     1  50789651     50789651
#> 4:  surgery 2023-04-01     1     1 139455962    139455962
#> 5:  surgery 2023-05-01     1     1  24199591     24199591
#> 6:  surgery 2023-06-01     1     1  98630725     98630725

long-format pseudo_triangles 테이블에는 두 값 컬럼 이 있다.

• loss_mean — Stage 1 평균 예측값 μ_b (모수만)
• loss_sampled — Stage 1 + Stage 2 실현값 Y_b

상삼각(upper triangle, 관측 영역) 에선 두 컬럼이 일치한다 — 거기서는 이미 부트스트랩 perturbation 이 데이터 변동성을 흡수했으므로 추가 잡음 적용이 의미 없다. 하삼각(lower triangle, 예측 영역) 에선 두 값이 정확히 Stage 2 process noise draw 만큼 다르다.

type 인자 — 세 가지 SE 패러다임

bootstrap() 과 worker 적합 함수(fit_sa(), fit_bf(), fit_cc()) 는 모수 불확실성을 어떻게 생성할지 고르는 type 인자를 받는다.

type	Stage-1 perturbation	용도
"analytical"	없음 — Mack(1993) MSEP closed-form, 시뮬레이션 없음	빠르고 분포 가정 없는 SE; bootstrap.Triangle() 의 default
"nonparametric"	관측된 발전 패턴에서 잔차를 재추출	분포 가정 없는 고전적 재추출 부트스트랩
"parametric"	적합된 분포에서 셀을 재추출 후 인자 재적합(England-Verrall 1999)	분포 형태까지 반영; fit_sa/bf/cc worker 의 default

"analytical" 은 per-replicate 루프를 건너뛰고 Mack closed-form 분해를 그대로 반환한다 (B 무시). "nonparametric" 과 "parametric" 은 둘 다 B 회 replicate 를 돌리되 Stage-1 draw 방식만 다르다 — "nonparametric" 은 잔차를 재추출하고, "parametric" 은 각 셀을 적합된 process 분포에서 표본추출한 뒤 인자를 재적합한다. 세 type 모두 동일한 Stage-2 process-noise 단계를 거쳐 동일한 $summary 분해 컬럼을 산출한다.

4. $summary 슬롯

bootstrap() 은 cohort × dev 별 분해를 한 번에 계산하여 미리 저장된 summary 로 노출한다. 하위 fit 함수가 per-replicate 표본 분산 루프 를 다시 돌릴 필요 없이 컬럼만 매핑하면 된다.

head(bt$summary)
#>    coverage     cohort   dev mean_proj     param_se proc_se     total_se
#>      <char>     <Date> <int>     <num>        <num>   <num>        <num>
#> 1:  surgery 2023-01-01     1  23614901 4.101932e-08       0 4.101932e-08
#> 2:  surgery 2023-02-01     1  68069021 3.729029e-07       0 3.729029e-07
#> 3:  surgery 2023-03-01     1  50789651 2.461159e-07       0 2.461159e-07
#> 4:  surgery 2023-04-01     1 139455962 5.369801e-07       0 5.369801e-07
#> 5:  surgery 2023-05-01     1  24199591 1.193289e-07       0 1.193289e-07
#> 6:  surgery 2023-06-01     1  98630725 5.966446e-07       0 5.966446e-07
#>        total_cv
#>           <num>
#> 1: 1.737010e-15
#> 2: 5.478305e-15
#> 3: 4.845788e-15
#> 4: 3.850535e-15
#> 5: 4.931030e-15
#> 6: 6.049277e-15

각 컬럼의 의미:

컬럼	산식	해석
mean_proj	mean(loss_mean across b)	점 추정 (Stage 1 평균)
param_se	sd(loss_mean across b)	추정 오차(estimation error)
total_se	sd(loss_sampled across b)	전체 예측 오차
proc_se	sqrt(pmax(total² − param², 0))	축소 불가능한 process error
total_cv	total_se / mean_proj	변동계수(CV)
ci_lo / ci_hi	quantile(loss_sampled, 0.025 / 0.975, type = 1)	경험적 95% CI

proc_se 의 pmax(·, 0) clamp 는 유한 B noise 방어다. 드물게 param_se > total_se 인 cell 이 표본 산출 (즉 단순 표본 noise) 때문에 발생할 수 있는데, 그 경우 proc_se 를 음수 분산이 아니라 0 으로 잘라낸다.

5. Mack(1993) MSEP 와의 대응

부트스트랩의 분해는 Mack 의 분석적 MSEP 와 같은 quantity 를 다른 방식으로 추정 하는 것이다.

• Mack 의 closed-form 은 명시적 분산 식 (σ²_k, Var(f̂_k)) 이 필요하고 Mack 1993 의 체인 래더 패러다임 (곱셈 recursion) 에만 적용된다.
• 부트스트랩 분해는 어떤 forward simulation (체인 래더, 노출 기반, 단계 적응형) 에도, 어떤 process 분포 (gamma / over-dispersed Poisson / normal) 에도 closed-form 분산 유도 없이 작동한다.

작은 삼각형의 순수 체인 래더 적합에서는 두 방식이 유한 B 표본 오차 이내 로 일치한다. 단계 적응형(SA, ED + CL 혼합) 에서는 부트스트랩 분해가 유일하게 정합적 인 옵션이다 — 성숙점(maturity) 경계에서 Mack 의 분석 식이 깔끔하게 합성되지 않기 때문이다.

6. $summary 의 활용

분해된 $summary 슬롯은 하위 fit_*(bootstrap = bt) 호출이 분해된 컬럼을 표준 fit schema (*_param_se, *_proc_se, *_total_se, *_total_cv, *_ci_lo, *_ci_hi) 에 그대로 매핑 한다. 사용자가 직접 분해 산식을 짤 필요 없음.

cell-residual 모드는 각 그룹의 잔차 풀의 평균을 0 으로 보정한 뒤 재추출한다. Shapland (2010, §4.2 “Negative Incremental Losses”) 는 이 조정을 하나의 옵션 으로 논의하며, 0 이 아닌 잔차 평균을 데이터의 특성으로 두고 제거하지 않는 관점도 함께 언급한다.

7. B 결정 — Davison & Hinkley 컨벤션

CI 경계는 R 기본값 type = 7 이 아니라 quantile(..., type = 1) 로 읽는다. type 1 은 보간하지 않는 분위수(경험적 CDF 의 역함수)로, 두 이웃 순서통계량 사이를 선형 보간하는 기본 type 7 과 달리 분위수가 항상 실제 순서통계량 위에 떨어진다.

경험적 percentile CI 가 정확한 sample 위치 에 떨어지려면 (즉 보간 없이) (B + 1) p 가 정수여야 한다. 패키지 default 가 이를 반영한다.

B	(B+1)	적합 용도
99	100	빠른 spot-check, 5% / 1% CI
199	200	가벼운 분석
499	500	default — one-sided VaR (75%, 95%, 99%) 모두 정수
999	1000	학술 표준 95% CI
1999	2000	Solvency II / K-ICS 99.5% TVaR

B = 499 가 패키지 default 다. reserving 보고에서 흔히 쓰는 한쪽 VaR percentile (75%, 95%, 99%) 이 모두 정수 순위 index 에 떨어지므로, 경험적 CI 가 보간 없이 정확한 sample 위치에 자리한다.

8. 함께 보기

• vignette("backtest") — hold-out 기반 부트스트랩 검증
• vignette("projection") — 기초 체인 래더
• ?bootstrap — 전체 인자 reference